Trabajo de desarrollo e
investigación
de matemática 2° medio C
de matemática 2° medio C
Integrantes:
- Savka García
- Catalina Gamboa
- Antonia Bustamante
- Lucas González
Caso 1
Dadas las funciones:
- f(x)= (2x-1)(x+3)
- g(x)= 1-2x
Encontrar:
a) Dominio y recorrido de cada función.
Para la función:
- f(x)= (2x-1)(x+3)
R: Dom.: Todos los números reales.
Rec.: [ -6,125, +∞[
Para la función:
- g(x)= 1-2x
R: Dom.: Todos
los números reales.
Rec.: Todos los números reales.
b) Gráfica de cada función, indicando:
- Intersección con los ejes.
- Vértices (según
corresponda).
- Puntos de intersección entre ambas funciones.
 |
| Figura 1 |
- f(x)= (2x-1)(x+3)
f(x)= 2x2 + 5x - 3
- b1. - Intersección con los ejes:
R: A (-3 , 0), B (0,5 , 0) ; D (0 , -3)
- b2. - Vértices:
x = -(5 : 2•2)
= -1,25
y = [(4 • 2 • -3) -52] : 4•2
= -6,125
R: V(x,y)= (-1,25 , -6,125) , Punto C
- b3. - Puntos de
intersección entre ambas funciones:
R: B (0,5 , 0) ;
E (-4 , 9)
Para la función:
- g(x)=
1 -2x
- b1. - Intersección con los ejes:
R: B (0,5 , 0) ; F (0 , 1)
Caso 2
Los gastos anuales, en Euros, que una empresa tiene por la fabricación de x computadores vienen dados por la expresión: G(x)= 2.000 + 250x. Los ingresos, también en Euros, que se obtienen por las ventas son: I(x)= 600x - 0,1x2 . A partir de la información, determine:
I(x) - G(x) > 0
Dada la fórmula para calcular raíces de una ecuación de segundo grado: ( -b ± √( b2- (4ac) ) ) : 2a
( 350 ± √( 3502 - (4 • 0,1 • 2.000) ) ) : (2 • 0,1)
x1= ( 350 + √121.700 ) : 0,2 x2= ( 350 - √121.700 ) : 0,2
Si reemplazamos el valor de x en ambas ecuaciones (gastos e ingresos) con las raíces obtenidas, obtenemos:
Para x1:
G(3.494,2763542512)= 2.000 + (250 • 3.494,2763542512)
Para x2:
G(5,7236457488)= 2.000 + (250 • 5,7236457488)
I(5,7236457488)= (600 • 5,723646) - (0,1 • 5,72364574882)
Comprobación: I - G > 0
Tenemos que:
160.000 = 2.000 + 250x
I(632)= (600 • 632) - (0,1 • 6322) = 339.257,6
R: Si el gasto originado en un año fue de 160.000 Euros el ingreso por ventas será de 339.257,6 Euros, siendo 632 el total de computadores vendidos.
c) Represente gráficamente ambas funciones, indicando dominio y recorrido según el contexto.
Rec.: Todos los números reales.
Para la función:
Siendo la fórmula para obtener el volumen de un prisma rectangular:
Si tenemos la ecuación V= ( 60 - 2x )( 40 - 2x)( x ), entonces para el valor de x se debe cumplir lo siguiente:
Aplicando derivadas para resolver V = 4x3 - 200x2 + 2.400x , tenemos que:
- b2. - Vértices:
R: No
tiene vértices, pues es una función lineal.
- b3. - Puntos de intersección
entre ambas funciones:
R: B (0,5 , 0)
; E (-4 , 9)
Caso 2
Los gastos anuales, en Euros, que una empresa tiene por la fabricación de x computadores vienen dados por la expresión: G(x)= 2.000 + 250x. Los ingresos, también en Euros, que se obtienen por las ventas son: I(x)= 600x - 0,1x2 . A partir de la información, determine:
a) ¿Cuántos computadores deben fabricarse para que los ingresos superen los
gastos, es decir, para que haya beneficios?
Sean, G(x)= 2.000 + 250x e I(x)= 600x - 0,1x2 , luego para que
los ingresos superen los gastos I(x) > G(x) pero además se debe cumplir al menos
que I(x) - G(x) >0 para que se produzca una
ganancia, luego:
I(x) - G(x) > 0
(600x - 0,1x2)-(2.000 + 250x ) > 0
- 0,1x2 + 600x -250x - 2.000 > 0
- 0,1x2 + 350x - 2.000 > 0 , se multiplica por (-1)
para acomodar la expresión
0 < 0,1x2 - 350x + 2.000
Dada la fórmula para calcular raíces de una ecuación de segundo grado: ( -b ± √( b2- (4ac) ) ) : 2a
( 350 ± √( 3502 - (4 • 0,1 • 2.000) ) ) : (2 • 0,1)
( 350 ± √121.700
) : 0,2
Se obtienen las raíces:
x1= ( 350 + √121.700 ) : 0,2 x2= ( 350 - √121.700 ) : 0,2
= 3.494,2763542512
= 5,7236457488
Si reemplazamos el valor de x en ambas ecuaciones (gastos e ingresos) con las raíces obtenidas, obtenemos:
Para x1:
G(3.494,2763542512)= 2.000 + (250 • 3.494,2763542512)
= 875.569,0885628100
I(3.494,2763542512)=
(600 • 3.494,2763542512) - (0,1 • 3.494,27635425122)
= 875.569,0885628100
Para x2:
G(5,7236457488)= 2.000 + (250 • 5,7236457488)
= 3.430,9114371898
I(5,7236457488)= (600 • 5,723646) - (0,1 • 5,72364574882)
= 3.430,9114371899
Comprobación: I - G > 0
Para
x1: (3.494,2763542512)
875.569,0885628100 - 875.569,0885628100 = 0 Euros de ganancia.
Por ende,
se desecha esta primera raíz, ya que no cumple con el objetivo de generar
ganancias.
Para
x2: (5,7236457488)
3.430,9114371899
- 3.430,9114371898 = 0,00000000003956302 Euros de ganancia.
R: Se deben
fabricar y vender 5,7236457488 (x2)
computadores, pero no se puede fabricar una fracción de un computador, por lo
que deben ser al menos 6 computadores para que los ingresos superen los gastos.
Haciendo
el ejercicio con el valor aproximado de 6:
G(6)= 2.000 + ( 250 • 6)
I(6)= (600 • 6) - (0,1 • 62)
= 3.500
= 3.596,4
Comprobación:
I - G > 0
Para x=6
3.596,4 -
3.500 = 96,4 Euros de ganancia.
Entonces,
si se fabrican y venden 6 computadores se obtiene una ganancia de 96,4 Euros.
b) ¿Cuál será el
ingreso por ventas si el gasto originado en un año fue de 160.000 Euros?
Para G(x)= 2.000 +
250x=160.000
Tenemos que:
160.000 = 2.000 + 250x
160.000 - 2.000 = 250x
158.000 = 250x
158.000 : 250 = x
632 = x
Si x
= 632 , se tiene que I(x)= 600x - 0,1x2, luego:
I(632)= (600 • 632) - (0,1 • 6322) = 339.257,6
R: Si el gasto originado en un año fue de 160.000 Euros el ingreso por ventas será de 339.257,6 Euros, siendo 632 el total de computadores vendidos.
c) Represente gráficamente ambas funciones, indicando dominio y recorrido según el contexto.
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| Figura 2 |
Para la función:
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- G(x)= 2.000 + 250x
R: Dom.: Todos los números reales.
Rec.: Todos los números reales.
Para la función:
- I(x)= 600x - 0,1x2
R: Dom.: Todos los números reales.
Rec.: Todos los números reales.
Caso 3
Un fabricante de cajas de cartón emplea piezas de 60cm. por 40cm.,
cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando los lados.
Determinar la longitud del cuadrado, si se desea obtener una caja
abierta con volumen máximo.
Figura 3
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Siendo la fórmula para obtener el volumen de un prisma rectangular:
V= Largo(a) • Ancho(b) • Alto(h)
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Figura 4
|
Entonces:
a = ( 60 - 2x )
b = ( 40 - 2x )
h = x
V= ( 60 - 2x )( 40 - 2x)( x )
= ( 2.400 - 120x - 80x + 4x2 )( x )
= ( 2.400 - 200x + 4x2)( x )
= 2.400x - 200x2 + 4x3
V
= 4x3 - 200x2 + 2.400x
Si tenemos la ecuación V= ( 60 - 2x )( 40 - 2x)( x ), entonces para el valor de x se debe cumplir lo siguiente:
- V= Largo(a) • Ancho(b) • Alto(h) >
0 , entonces
- (60 - 2x) > 0
- (40 - 2x) > 0
- x > 0
Es
decir, que cualquiera de sus valores dimensionales debe ser siempre mayor que
cero.
Luego,
para cada uno de los lados tenemos que:
60
- 2x > 0 40 - 2x >
0 0 < x
60 > 2x 40 > 2x
60 > 2x 40 > 2x
60
: 2 > x 40 : 2
> x
30
> x
20 > x
Por lo
tanto, de las tres expresiones, tenemos que el valor de x se encuentra entre 0 y 20
Luego, ya que esta ecuación V= 4x3 - 200x2 + 2.400x , es una ecuación de tercer grado, se debe aplicar la derivada de una función potencial para transformarla a una ecuación de segundo grado, que es igual al exponente por la variable elevada a una unidad menos:
Luego, ya que esta ecuación V= 4x3 - 200x2 + 2.400x , es una ecuación de tercer grado, se debe aplicar la derivada de una función potencial para transformarla a una ecuación de segundo grado, que es igual al exponente por la variable elevada a una unidad menos:
Derivada
de una función potencial:
[ xr ]'= rxr-1
La
derivada de una función tambien se puede denotar con una comilla en el nombre
de la función f' ( xr ) = rxr-1
Además,
se debe tener en cuenta que la derivada de x es igual a uno: f(x)= x ;
f'(x)= 1
Aplicando derivadas para resolver V = 4x3 - 200x2 + 2.400x , tenemos que:
f'
(4x3) = 4[3x2]
f' (200x2) = 400x
f' (2.400x) = 2.400
f'(V) =
V'
luego,
aplicando las derivadas por cada expresión y recomponiendo la ecuación
tenemos:
V'= 4[3x2] - 200[2x] + 2.400
= 12x2 - 400x +
2.400
Al obtener esta nueva ecuación, ahora de segundo grado, se deben
calcular las raíces de esta para obtener el valor correspondiente de x, que
debe cumplir con que esté entre 0 y 20.
Dada la fórmula para calcular raíces de una ecuación de segundo
grado:
( -b ± √( b2- (4ac) ) )
: 2a
( 400 ± √( 4002 - (4
• 12 • 2.400) ) )
: (2 • 12)
( 400 ± √44.800
) : 24
x1= ( 400 + √44.800 ) : 24
x2= ( 400 - √44.800 ) : 24
= 25,4858377
= 7,84749563
Según la condición 0 < x < 20, se debe descartar x1 ya
que sobrepasa el máximo valor posible (20). Por lo tanto, el valor de x
corresponde a x2, ya que cumple con la condición (entre 0 y 20).
A continuación debemos aplicar una segunda derivada para saber como
será la concavidad de la curva de nuestra ecuación al reemplazar el valor de x
en esta. Si el resultado final es positivo indica que la curva será cóncava
hacia arriba (positiva) , y si el resultado final es negativo indica que la
curva será cóncava hacia abajo ( negativa) .Por consiguiente, para obtener un
volumen máximo necesitamos que el resultado final sea negativo.
Para
resolver la segunda derivada, además de tener en cuenta que la derivada de x es
igual a uno: f(x)= x ; f'(x)= 1, también se debe
considerar que la derivada de una constante es cero: [k]'= 0 ó f'(k)=
0
Resolviendo
tenemos que:
V'= 12x2 - 400x +
2.400 , derivando nuevamente tenemos:
f' (12x2) = 12(2x)
f' (400x) = 400
f' (2.400) = 0
f'(V') = V''
luego, aplicando las derivadas por cada expresión y
recomponiendo la ecuación tenemos:
V'' = 12(2x) - 400
= 24x - 400
Reemplazando el valor obtenido para x, tenemos que:
V''= (24 • 7,84749563) - 400
= -211,6601049
Por lo tanto, el valor para la segunda derivada de la ecuación de volumen
es negativo, lo que quiere decir que el valor de x si cumple para la condición
de volumen máximo.
Si
reemplazamos el valor de x en la ecuación V = 4x3 - 200x2 + 2.400x, el volumen máximo de la caja
sin tapa sería:
V= 4(7,84749563)3 - 200(7,84749563)2 + 2.400(7,84749563)
= 4(483,2737961) - 200(61,58318766) + 18.833,98951
= 1.933,095184 - 12.316,63753 + 18.833,98951
= 8.450,447164 cm3
La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación de tercer grado y
su máximo para x=7,8475
R: Para que se obtenga el volumen máximo de la caja sin tapa la longitud
del cuadrado debe ser de 7,84749563 cm.
En la siguiente gráfica del programa
graphmatica podemos ver las curvas de la ecuación de tercer grado (Color lila),
su raíz, puntos críticos y su primera (Color blanco) y segunda derivada
derivada (Color rojo).
Conclusión
Como grupo podemos concluir que las matemáticas no solo se pueden
aplicar en casos formulados y específicos, sino que también son aplicables en
el día a día, ayudándonos a resolver casos cotidianos como los que
desarrollamos anteriormente.
Cabe destacar que el uso de la tecnología facilita el trabajo y
ayuda a comprobar los resultados con mayor precisión. Además nos permite
proyectar y graficar los datos recaudados durante la investigación ayudando a
una mejor comprensión de las expresiones y pudiendo comparar el desarrollo y
comportamiento de las curvas de cada ecuación.
28 de noviembre de 2018
Estimadas: Presentaron un buen trabajo, el desarrollo matemático perfecto, solo debo decirles que:
ResponderEliminarFaltó indicar cómo se obtuvo la Intersección de g(x y f(x)(caso1), la gráfica del caso 2 no muestra una parábola y una recta intersectándose.
Sobre sus conclusiones puedo decir que estaban correctas, pero deficiente. Nota:6,1